EL CÁLCULO

"Todos quienes conozcan el tema, estarán de acuerdo en que las bases sobre las cuales reposa la explicación científica de la naturaleza, son inteligibles sólo a aquellos que han aprendido, por lo menos, los elementos del cálculo diferencial e integral..." Estas palabras de Félix Klein, distinguido matemático alemán, repiten una convicción de todos cuantos han estudiado las ciencias físicas. Es imposible estimar e interpretar la interdependencia de las magnitudes físicas, por medio del álgebra y la geometría únicamente; si no se dispone más que de la simple ayuda de estos recursos matemáticos, es imposible ir más allá del más sencillo fenómeno observado. En la construcción de las teorías físicas, el cálculo es algo más que el cemento que liga los diversos elementos de la estructura, pues constituye el utensilio usado por el constructor en cada fase de la construcción.

¿Por qué esta rama de las matemáticas se adapta tan particularmente bién a la formulación precisa de los fenómenos naturales? ¿ Qué virtudes pueden atribuirse al cálculo de las que no participan ni la geometría ni el álgebra?

Nuestra impresión más común del mundo, sea errónea o no, es su aspecto constantemente variable. La naturaleza, así como los artificios que hemos inventado para dominarla, parecen hallarse en un perpetuo flujo. Aún los "absolutos" - espacio y tiempo- se contraen y se dilatan incesantemente. El día y la noche varían de continuo, explicando las vicisitudes de las estaciones. Por todas partes hay movimento, fluctuaciones, ciclos de nacimiento, muertes y regeneración.

La palabra "cálculo", que significó originalmente una piedrecilla o guijarro, ha adquirido una nueva connotación. El cálculo puede ser considerado como aquella rama de la investigación matemática que trata del cambio y de la razón de cambio. La comodidad con la que se viaja en un automóvil, es posible en parte al menos, gracias al cálculo. Y si bién los planetas seguirían sus trayectorias sin el cálculo, Newton lo necesitó para demostrar que las órbitas de los planetas alrededor del sol son elipses. Reduciéndonos de lo celestial a lo atómico, la solución de la mismísima ecuación usada por Newton para describir el movimiento de los planetas, determina la trayectoria de una partícula alfa que bombardea un núcleo atómico. Por medio de la fórmula que relaciona la distancia recorrida por un cuerpo en movimiento, y el tiempo transcurrido, el cálculo permite determinar la velocidad del cuerpo, así como su aceleración en cualquier instante.

Todos los ejemplos que anteceden, sean sencillos o complejos, implican cambio y rapidez de cambio. Sin su exacta enunciación matemática, ninguno de los problemas descritos tendría sentido y mucho menos podría ser resuelto. De esta manera se ha creado una teoría matemática que toma conocimiento de los cambios y emprende su examen y explicación. Esa teoría es el cálculo.

UNIDADES TEMÁTICAS

Las siguientes son las unidades programadas para este curso:

UNIDAD No. 1: LOGICA Y CONJUNTOS

LOGROS:

1. Realiza operaciones entre conjuntos utilizando las propiedades de los conjuntos y diagramas de Venn-Euler.

2. Resuelve problemas asociados con la matemática y otras ciencias empleando para ello el cardinal de un conjunto.

3. Contruye tablas de verdad apoyándose en las proposiciones y los conectivos lógicos.

4. Demuestre la validez de argumentos lógicos utilizando las leyes de las proposiciones.

Temas de la unidad

1. Conjuntos

1.1 Introducción

1.2 Concepto y notación de conjunto

1.3 Relaciones entre conjuntos

1.4 Operaciones entre conjuntos

1.5 Propiedades de los conjuntos

1.6 Cardinal de un conjunto

1.7 Ejercicios y problemas

1.8 Razonamiento Lógico

1.8.1 Introducción

1.8.2 Proposiciones lógicas

1.8.3 Conéctivos lógios

1.8.4 Tablas de verdad

1.8.5 Leyes de las proposiciones lógicas

1.8.5.1 Variantes del condicional

1.8.5.2 Condiciones de suficiencia y necesidad

1.8.5.2.1 Condición suficiente pero no necesaria

1.8.5.2.2 Condición necesaria pero no suficiente

1.8.5.2.3 Condición suficiente y necesaria.

1.8.6 Argumentos lógicos

1.8.7 Cuantificadores

1.9 Ejercicios y problemas

HORAS PREVISTAS: 20

UNIDAD N0. 2: DESIGUALDADES, INTERVALOS Y VALOR ABSOLUTO.

LOGROS:

1. Resuelve inecuaciones utilizando el método analítico o el método gráfico.
2. Resuelve ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto, utilizando las propiedades del valor absoluto de un número real.

Temas de la unidad

2.1 Desigualdades

2.2 Propiedades de las desigualdades

2.3 Intervalos

2.3.1 Intervalos finitos

2.3.2 Intervalos infinitos

2.4 Operaciones con intervalos

2.5 Inecuaciones

2.5.1 Inecuaciones lineales

2.5.2 Inecuaciones factorizables

2.5.3 Inecuaciones racionales

2.6 Valor absoluto de un número real

2.6.1 Propiedades del valor absoluto

2.6.2 Ecuaciones con valor absoluto

2.6.3 Inecuaciones con valor absoluto

2.7 Ejercicios.

HORAS PREVISTAS: 20


UNIDAD N0.3 RELACIONES Y FUNCIONES

LOGROS

1. Determina el dominio, rango y gráfica de una relación y de una función de variable real.
2. Identifica las diferentes clases de funciones reales de variable real y resuelve operaciones entre ellas.

Temas de la unidad

3.1 Introducción

3.2 Producto cartesiano

3.3 Relaciones

3.3.1 Dominio, rango y gráfica de una relación

3.3.2 Método para hallar el dominio y el rango de una relación

3.3.3 Relación inversa

3.4 Funciones

3.4.1 Elementos de una función

• Dominio
• Rango
• Gráfica

3.4.2 Funciones reales de variable real

3.4.3 Clasificación de funciones

• Inyectiva o 1-1
• Sobreyectiva o sobre
• Biyectiva o correspondencia biunívoca

3.4.4 Algunas funciones reales especiales

• Función constante
• Función identidad
• Función valor absoluto
• Función parte entera
• Función signo

3.4.5 Algebra de funciones

• Función suma
• Función diferencia
• Función producto
• Función cociente

3.4.6 Función compuesta

3.4.7 Función inversa

3.4.8 Ejercicios y problemas.

HORAS PREVISTAS: 40


UNIDAD N0. 4 SUCESIONES Y LÍMITE DE UNA SUCESIÓN Y DE UNA FUNCIÓN

LOGROS

1. Reconoce una sucesión numérica y determina su término general.
2. Calcula el límite de una sucesión convergente y el límite de una función, utilizando las propiedades de los límites.
   

4.1 Introducción

4.2 Definición de sucesión

4.3 Determinación de una sucesión

4.3.1 Sucesión de Fibonacci

4.3.2 Progresiones aritmética y progresiones geométricas.

4.4 Representación gráfica de una sucesión

4.5 Clasificación de sucesiones

4.5.1 Sucesiones crecientes

4.5.2 Sucesiones decrecientes

4.5.3 Sucesiones acotadas

4.6 Límite de sucesiones convergentes

4.7 Sucesiones divergentes

4.8 Propiedades del límite de sucesiones

4.9 Series infinitas de términos constantes

4.10 Límite de funciones

4.10.1 El concepto de límite

4.10.2 Interpretación geométrica de los límites

4.10.3 Límites laterales

4.11 Propiedades de los límites de funciones

4.12 Límites indeterminados

4.13 Límites infinitos

4.14 Límtes al infinito

4.15 Límites trigonométricos

4.16 Funciones continuas.

HORAS PREVISTAS: 40


UNIDAD N0. 5 CÁLCULO DIFERENCIAL

LOGROS

1. Calcula la derivada de una función algebraica, utilizando la regla de la derivación en cadena y la derivación implícita, interpretando geométrica y fisicamente el concepto de derivada.
2. Halla la derivada de funciones trascendentes utilizando derivación en cadena y derivación implícita.
3. Aplica la derivada de una función para resolver problemas sobre razón de cambio y problemas relativos a máximos y mínimos.

5.1 Introducción

5.2 La derivada y el problema de la recta tangente

5.2.1 Cociente incremental

5.2.2 Definición de recta tangente con pendiente m

5.3 La derivada y el problema de la velocidad instantánea

5.4 Algebra de derivadas

• Derivada de una constante
• Derivada de la función lineal
• Derivada de una función potencial de exponente entero positivo
• Derivada de una suma
• Derivada de un producto
• Derivada de un cociente
• Regla de la derivación en cadena
• Derivación implícita

5.5 DERIVADA DE FUNCIONES TRASCENDENTES

• Derivada de las funciones trigonométricas
• Derivada de las funciones trigonométricas inversas
• Derivada de la función logarítmica
• Derivada de la función exponencial
• Derivadas de orden superior

5.6 APLICACIONES DE LA DERIVADA

• Razón de cambio
• Trazado de graficas
• Máximos y mínimos relativos de una función
• Problemas sobre máximos y mínimos
• Ejercicios y problemas

HORAS PREVISTAS: 40